Would rather, had better
2 formes presque similaires, 2 sens différents

Les deux expressions ont la même forme contractée et sont suivies d'une base verbale. Mais elles ne sont pas interchangeables.

would rather

Pour indiquer une préférence

Would rather indique une préférence (Je préférerais, j'aimerais mieux...) et il est suivi d'une base verbale (infinitif sans "to").

I would rather stay at home than go out with them!
J'aimerais mieux rester chez moi que de sortir avec eux!

La forme contractée 'd est très courante, surtout à l'oral, mais ne s'emploie pas lorsque le sujet est un nom:

She'd rather sleep now. / Karen would rather sleep now. Elle préférerait dormir maintenant. / Karen préférerait...

S'il y a une alternative, elle est introduite par than (voir le premier exemple: "than go out...")

Si une autre personne est concernée par la préférence, on emploie un prétérit (dit prétérit modal)

We'd rather she came in the evening.
Nous préférerions qu'elle vienne le soir.

Les formes interrogatives et négatives

Would you rather leave now or later?
Préférez-vous partir maintenant ou plus tard?
I'd rather not see that film: it's too violent.
J'aimerais mieux ne pas voir ce film: il est trop violent.

had better

Pour exprimer un conseil

Had better exprime un conseil, voire un avertissement (je ferais mieux de...). Lui aussi est suivi d'une base verbale et prend la même forme contractée 'd

We had better get up early, so as not to miss the train.
Nous ferions mieux de nous lever tôt, pour ne pas rater le train.
You'd better drive more carefully: the road est dangerous.
Tu ferais mieux de conduire plus prudemment: la route est dangereuse.

Même ordre de mots pour la forme interrogative et négative:

She'd better not tell him.
Elle ferait mieux de ne pas le lui dire.